논리연산은 디지털 논리회로가 계산하는 방식이고, 논리게이트는 그 논리연산을 수행하는 소자이다.
전자회로의 입출력 관계의 표현 방법은
1) 그래프나 진리표
2) 논리 함수
등이 있다.
이정도가 있다만 알고 논리 집합과 논리 연산으로 바로 넘어가보도록 하자.
1. 논리 집합과 논리연산
부울 집합과 부울 연산으로 불리며 2개의 이산값(0, 1)에 적용되는 것들이다.
여기서 두 개의 이산값이란 참과 거짓, 양과 음, on과 off를 의미하며 간단하게 0과 1로 표현된다.
0과 1을 가지는 논리변수는 A, B, C, D, X, Y, Z와 같은 문자로 표시한다.
논리연산은 대표적으로 3가지가 있다.
1) AND : 이 연산은 점으로 표시하며 이를 생략하기도 한다.
2) OR : 이 연산은 덧셈 기호(+)로 표시한다.
3) NOT : 이 연산은 변수 위에 줄을 그어서 표시한다.
논리회로(logic circuit)란 적절하게 입력된 신호를 가지고 논리적 연산을 수행하여 출력신호를 생성시키는 전자적 회로를 말한다.
디지털 논리회로를 구성하는 기본 논리게이트로는 다음 그림과 같이 AND 게이트, OR 게이트, NOT 게이트 세가지가 있다.
NOT을 제외한 두 가지 게이트는 두개의 입력을 받고 한 개의 출력을 내보낸다.
AB는 각각 입력값을 나타내고 X는 출력값을 나타낸다.
2. 부울대수
부울대수(Boolean algebra)는 0 또는 1의 값을 갖는 논리변수와 논리연산을 다루는 대수로, 논리적 판단을 하기 위해 사용한 수학적 기법이다.
부울함수(Boolean function)는 논리변수의 상호관계를 나타내기 위해 부울변수, 부울상수(0 또는 1), 부울 연산기호( · , + , - ), 괄호 및 등호 등으로 나타내는 대수적 표현이다. 입력과 출력을 수학적으로 표현한다고 볼 수 있다.
다음 식을 살펴보자
F = X·~Y + X·Y·Z + ~X · Y · Z
위의 식은 F = X~Y + XYZ + ~XYZ와 같이 AND 연산자 '·' 를 생략하여 쓸 수 있다.
이 부울 함수의 값은 논리변수로 0아니면 1 각각 우변 식에 대입함으로 써 얻을 수 있다.
또한 주어진 부울함수는 논리게이트로 구성되는 회로도로 작성 할 수 있다.
진리표는 다음과 같다.
입력 | X | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Y | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
Z | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
출력 | F | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
부울함수를 진리표로 나타낼 때는 진리표가 하나로 결정되지만 대수식으로 나타낼 때는 다양한 형태의 식으로 표현 할 수 있다.
즉, 주어진 부울 함수에 대한 진리표는 오직 하나지만, 동일한 진리표를 만족하는 부울함수는 여러 개가 될 수 있다.
따라서 부울 함수를 가장 단순화한 논리회로도로 구현하려면 부울함수를 가능한 한 단순한 식으로 변환해야한다.
위에 나와있던 X~Y + XYZ + ~XYZ는 부울 대수 기본 공식에 의해 F = X~Y + YZ로 변환이 가능하다. (X + ~X = 1이고 YZ는 중복되므로 하나만 써주기 때문)
그럼 이 부울대수의 기본 공식은 무엇이냐? 바로 다음과 같다.
(1) X + 0 = X | (2) X · 1 = X |
(3) X + 1 = 1 | (4) X · 0 = 0 |
(5) X + X = X | (6) X · X = X |
(7) X + ~X = 1 | (8) X · ~X = 0 |
(9) ~~X = X | |
교환 법칙 (10) X + Y = Y + Z | (11) XY = YX |
결합 법칙 (12) X + ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z | (13) X(YZ) = (XY)Z |
분배 법칙 (14) X(Y+Z) = XY + XZ | (15) X+YZ = (X+Y)(X+Z) |
드모르간의 법칙 (16) ~(X+Y) = ~X · ~Y | (17) ~(X·Y) = ~X + ~Y |
흡수정리 (18) X + X · Y = X | (19) X · (X + Y) = X |
부울대수에서 꼭 알아야 할 중요한 원리는 쌍대성 원리(principle of duality)이다.
부울대수식에서 논리연사자인 +와 ·, 그리고 논리상수 1과 0을 맞바꾸면 맞은편의 결과를 알 수있다.
이러한 부울대수의 특성을 쌍대성 원리라고 한다. 왼쪽과 오른쪽이 거울을 보는 듯하다.
다음 시간에는 부울함수의 대수적 간소화를 알아보도록 하겠다.
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