벡터와 행렬 - 3

[벡터 선형 종속]

• $$ n 차원 벡터 a_1, ..., a_p 가 선형종속(linear dependence)$$
• $$ B_1 a_1 + ... + B_p a_p = 0 가 0 벡터가 아닌 어떤 B 들에 의하여 충족 $$

$$ a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, a_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, a_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} 일 때, a_1 과 a_2 벡터는 a_3 벡터에 대해 선형 종속적인 관계를 가진다. $$

$$ B_1 = 1, B_2 = 1, B_3 = -1 $$
$$ B_1 a_1 + B_2 a_2 + B_3 a_3 = 0 $$

$$ a_3 = \frac{-B_1}{B_3} a_1 + \frac{-B_2}{B_3} a_2 = a_1 + a_2 $$

다른 벡터들의 선형 결합으로 표현 가능

[벡터 선형 독립]

• $$ n 차원 벡터 a_1, ..., a_p 가 선형 독립(linear independence) $$
• $$ B_1 a_1 + ... + B_p a_p = 0 이면 B_i = 0, 거꾸로 \forall i $$

$$ a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, a_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, a_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$

$$ B_1 = 0, B_2 = 0, B_3 = 0 $$
$$ B_1 a_1 + ... + B_3 a_3 = 0 $$
$$ B_1 - B_3 = 0 $$
$$ - B_2 = 0 $$
$$ B_3 = 0 $$

선형 독립
모든 베타가 0

선형결합식을 만들었을 경우 0

[기저]

• 기저(base) : n 차원에서 n 개의 선형 독립인 벡터
• 2차원 벡터에서는 선형독립인 벡터의 수는 최대 2개
• $$ n 차원 벡터 a_1, ..., a_n 가 기저이면, 임의의 n 차원 벡터 x는 x = B_1 a_1 + ... + B_1 a_n $$

2 차원 기저의 예 :
$$ a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, a_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} 0.7 \\ 0.3 \end{bmatrix} $$

$$ -> x = \begin{bmatrix} 0.7 \\ 0.3 \end{bmatrix} = 0.7 a_1 + 0.3 a_2 $$

길이가 주어졌을 떄, 기저를 활용하여 선형 결합식으로 나타낼 수 있음

[직교 정규(orthonormal) 벡터]

• $$ a_i \bot a_j $$
• $$ a^T_i a_j = 0, ||a_i|| = 1, \forall i $$

직교 정규의 조건 행렬곱 0, L2 Norm의 값이 1 일 때 두 벡터가 직교 정규한다 한다.