벡터와 행렬 - 2

벡터나 행렬에 T를 붙이는 것은 전치행렬로 만든다는 것.

행열이 반전되는 것이다.

[내적] (inner product, dot product)

벡터 내적의 조건

- 벡터의 내적이 성립하기 위해서는 2개의 벡터의 크기가 같아야 한다.

- 앞의 열의 개수와 뒤에 오는 벡터의 행의 개수가 같아야 한다. (결과 행렬의 크기는 앞의 행개수와 뒤에 오는 벡터의 열 개수로 결정됨)

벡터 내적의 특징

- 벡터 내적은 결과값이 스칼라로 나온다

- 내적의 결과값은 항상 스칼라, 파이썬 프로그램의 *은 벡터끼리의 값을 곱한 벡터이다. (* 연산은 내적이 아님)

- 벡터 원소의 제곱합은 자기자신을 전치한 행렬의 내적으로 나타낼 수 있다.

- 평균은 벡터 원소 합 / n 이다.

[벡터 노름]

- 유클리디안 노름(Euclidean norm), L2 노름
- 유클리디안 노름, L2 노름의 경우 : 공간상의 한 점, 그 벡터가 가리키는 한점과 원점까지의 거리를 노름이라 한다.

- 기호 || ||

- $$ || a || = \sqrt{a^T a} = \sqrt{a^2_1 + ... + a^2_n} $$

- $$ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \sqrt{\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}} = \sqrt{\begin{bmatrix} 2 \ \ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} } = \sqrt{13} = 3.606 $$

노름의 성질
- 길이는 0보다 같거나 크다
- 스칼라는 절대값임, 길이는 양수이기 때문

내적과 노름

$$ a^T b = ||a||||b|| \cos(\theta) $$

$$ \cos(\theta) 공식 $$

$$ \cos(\theta) = 1 의 의미 : 2개의 벡터가 일치 $$
$$ \cos(\theta) = \frac{a^T b}{|| a || || b ||} $$
$$ a^T b = || a || || b || \cos(\theta) $$